中国象棋的优化问题形式化

中国象棋引擎的搜索可以形式化为一个优化问题：

给定棋局状态s，在合法着法集合M(s)中找到一个着法m*，使得后期望评估值最大化： m* = argmax_{m in M(s)} V(s’)

其中s’是走m后的局面，V是评估函数。

由于评估函数V的不精确性和搜索深度的限制，引擎实际求解的是近似解： m*approx = argmax{m in M(s)} V_search(s’, depth)

其中V_search是深度限制搜索的近似评估函数。

第十八卷 中国象棋引擎与自动博弈论

策梅洛定理在中国象棋中的成立条件

策梅洛定理（Zermelo’s Theorem）指出：在完全信息、有限局面的双人零和博弈中，要么先手有必胜策略，要么后手有必胜策略，要么双方都有必和策略。

中国象棋显然满足策梅洛定理的条件：完全信息（双方都能看到棋盘）、有限局面（棋盘和棋子种类有限）、双人零和（一方赢则另一方输，或双方和棋）。

中国象棋的策略值：根据策梅洛定理，中国象棋的策略值（game value）要么是"红胜"、“黑胜”、要么是"和棋"。但理论上，中国象棋未被完全分析，实际策略值是未知的。

中国象棋引擎通过搜索在有限深度内逼近这个理论策略值。

Minimax定理在中国象棋中的应用

Minimax定理的数学表述： max_{x in X} min_{y in Y} f(x, y) = min_{y in Y} max_{x in X} f(x, y)

在中国象棋中，X是红方的纯策略集合，Y是黑方的纯策略集合，f(x, y)是策略对(x, y)下红方的收益。

Minimax定理的直观含义：如果红方先选择策略，黑方后选择策略，其最终结果等于如果黑方先选择策略，红方后选择策略的结果。这个对称性保证了博弈树的Minimax搜索结果是合理的。

纳什均衡与中国象棋引擎

中国象棋的每个局面可以看作一个子博弈，引擎的搜索过程是在所有子博弈中寻找近似纳什均衡的过程。

在博弈论中，纳什均衡是每个玩家的策略都是对其他玩家策略的最优反应的策略组合。在中国象棋的完全信息条件下，纳什均衡退化为子博弈完美均衡。

皮卡鱼等现代引擎通过结合搜索和评估，可以在约束时间内找到博弈树的高质量近似解，逼近子博弈完美均衡。

第十九卷 中国象棋引擎子力评估详表

子力价值表

以下是中国象棋各种棋子在NNUE训练中的默认评估价值（以百分之一兵为单位）。这些值反映了NNUE网络训练后各类棋子在平均局面下的价值：