中國象棋的優化問題形式化

中國象棋引擎的搜索可以形式化爲一個優化問題：

給定棋局狀態s，在合法着法集合M(s)中找到一個着法m*，使得後期望評估值最大化： m* = argmax_{m in M(s)} V(s’)

其中s’是走m後的局面，V是評估函數。

由於評估函數V的不精確性和搜索深度的限制，引擎實際求解的是近似解： m*approx = argmax{m in M(s)} V_search(s’, depth)

其中V_search是深度限制搜索的近似評估函數。

第十八卷 中國象棋引擎與自動博弈論

策梅洛定理在中國象棋中的成立條件

策梅洛定理（Zermelo’s Theorem）指出：在完全信息、有限局面的雙人零和博弈中，要麼先手有必勝策略，要麼後手有必勝策略，要麼雙方都有必和策略。

中國象棋顯然滿足策梅洛定理的條件：完全信息（雙方都能看到棋盤）、有限局面（棋盤和棋子種類有限）、雙人零和（一方贏則另一方輸，或雙方和棋）。

中國象棋的策略值：根據策梅洛定理，中國象棋的策略值（game value）要麼是"紅勝"、“黑勝”、要麼是"和棋"。但理論上，中國象棋未被完全分析，實際策略值是未知的。

中國象棋引擎通過搜索在有限深度內逼近這個理論策略值。

Minimax定理在中國象棋中的應用

Minimax定理的數學表述： max_{x in X} min_{y in Y} f(x, y) = min_{y in Y} max_{x in X} f(x, y)

在中國象棋中，X是紅方的純策略集合，Y是黑方的純策略集合，f(x, y)是策略對(x, y)下紅方的收益。

Minimax定理的直觀含義：如果紅方先選擇策略，黑方後選擇策略，其最終結果等於如果黑方先選擇策略，紅方後選擇策略的結果。這個對稱性保證了博弈樹的Minimax搜索結果是合理的。

納什均衡與中國象棋引擎

中國象棋的每個局面可以看作一個子博弈，引擎的搜索過程是在所有子博弈中尋找近似納什均衡的過程。

在博弈論中，納什均衡是每個玩家的策略都是對其他玩家策略的最優反應的策略組合。在中國象棋的完全信息條件下，納什均衡退化爲子博弈完美均衡。

皮卡魚等現代引擎通過結合搜索和評估，可以在約束時間內找到博弈樹的高質量近似解，逼近子博弈完美均衡。

第十九卷 中國象棋引擎子力評估詳表

子力價值表

以下是中國象棋各種棋子在NNUE訓練中的默認評估價值（以百分之一兵爲單位）。這些值反映了NNUE網絡訓練後各類棋子在平均局面下的價值：